movimiento angular

El efecto giroscópico tiene lugar cuando la rueda, que sigue un movimiento rotacional alrededor de su propio eje con una velocidad angular ω, se le fuerza a girar también según otro eje, perpendicular al anterior, con una nueva velocidad angular Ω.

El efecto giroscópico se manifiesta como un momento que tiende a girar la rueda alrededor de un eje perpendicular a los otros dos. El valor de este momento giroscópico será igual al producto del momento polar de inercia de la rueda por las velocidades angulares ω y Ω. Tomando vectores (en negrita):

Mg = I0 * (Ω x ω)

En la dinámica de la motocicleta, existen diversas ocasiones en las que se crea un momento inducido por el efecto giroscópico. Veamos cuáles son:

1.- Efecto giroscópico al seguir la motocicleta una trayectoria curva:

Consideraremos una rueda girando alrededor de su propio eje a una velocidad angular ω, mientras la motocicleta toma una curva de radio R, con una velocidad angular Ω en torno al centro imaginario de esa curva (nótese que ω tiene un valor mucho más elevado que Ω). Para la mejor comprensión de este caso, imaginese una motocicleta dando vueltas a un trazado circular, con una velocidad constante. Ello hará que adopte un ángulo de inclinación ϕ, que trataremos de determinar,

La rotación natural de la rueda (ω) y el giro de la motocicleta alrededor del centro de la curva (Ω), producen un momento giroscópico alrededor del eje horizontal, que tiende a levantar la motocicleta. Tomando valores escalares:

Mg = I0 * (Ω x ω) Mg = I0 * Ω * ω * cos

Siendo I0 el momento polar de inercia de la rueda respecto a su propio eje, ω la velocidad angular de rotación alrededor del mismo, Ω la velocidad angular con que toma la curva la motocicleta. Otra forma de expresar Ω es como como cociente entre la velocidad lineal de la motocicleta y el radio de la curva que está tomando:

v = R x Ω Ω = v / R

(angolo di rollio=ángulo de inclinación; velocità angolaredi imbardata=velocidad angular de paso por curva; velocità angolare di rotazione della ruota=velocidad angular de rotación de la rueda; raggio di curvatura=radio de la curva)

Ahora, tomaremos en cuenta el momento de inercia de ambas ruedas. Entonces, el efecto giroscópico valdría:

Siendo If y Ir los momentos polares de inercia de las ruedas delantera y trasera respectivamente.

Supongamos que las ruedas tuvieran un peso despreciable (I0
0). Entonces, el efecto giroscópico sería nulo. Si también despreciamos la deformación de los neumáticos, las condiciónes de equilibrio dinámico para esas condiciones de movimiento circular uniforme (velocidad lineal constante y radio de curvatura constante), imponen que la resultante del peso y de la fuerza centrífuga intersecta la línea que une los puntos de contacto de ambas ruedas con el suelo.

En este caso ideal, el ángulo de inclinación de la motocicleta para tomar la curva vendría dado por la relación:

Σ M = 0 ---> W * xg = Fc * yg ---> m * g * xg = m * Ω2 * R * yg ---->

xg / yg = R * Ω2 / g ---> tg ϕ = R * Ω2 / g

Siendo g la aceleración de la gravedad (constante), W el peso de la motocicleta (y el piloto), Fc la fuerza centrífuga que sufre el conjunto moto-piloto al tomar la curva, la cual nos obliga a inclinarnos para no salir despedidos hacia el lado contrario, y (xg,yg) las coordenadas del Centro De Gravedad del conjunto moto-piloto.

Si a este esquema simplificado añadimos el par de fuerzas que equivalen al momento giroscópico, es evidente que tendríamos que inclinar más la moto (aumentar el ángulo ϕ) para compensarlo.

Es evidente a partir de lo aquí expuesto que todo lo que conduzca a disminuir el peso de la rueda (es decir, de la llanta, de la cámara si la hubiere, de la cubierta y de parte de los rodamientos del buje), o al menos a acercar las masas al centro de giro de la rueda, para así disminuir el momento de inercia polar (por eso la masa de los rodamientos influye muy poco, y el aro de la llanta y el neumático son mucho más importantes); se traduce en una mejora de la manejabilidad de la motocicleta.

(angolo di rollio=ángulo de inclinación; forza d'inerzia centrifuga=fuerza de inercia centrífuga; baricentro=centro de gravedad; velocità angolaredi imbardata=angular yaw velocity; velocità angolare di rotazione della ruota=velocidad de rotación; raggio di curvatura=radio de la curva)

El incremento ∆ϕ en el ángulo de inclinación debido al efecto giroscópico, reduce la agilidad de la motocicleta, ya que para alcanzar el ángulo de inclinación se necesita más tiempo (a cualquiera que haya montado en moto, esta última frase le sobra; es evidente que si para tomar la misma curva a la misma velocidad, hemos de inclinarnos más, es un efecto contra el que hemos de luchar).

Lástima que las llantas de magnesio o carbono sean tan caras!!!! Pero ojito, que no todas las cubiertas pesan lo mismo, y ese sí que es un punto donde elegir unas u otras no supone un gran desembolso económico. Sin embargo, la necesaria rigidez de la carcasa hace ridículo escatimar peso en este apartado a partir de un cierto límite.

A diferencia del siguiente efecto, que solo tiene lugar en la fase en que tumbamos la moto (y en sentido contrario cuando la levantamos, es decir, cuando existe una velocidad angular de inclinación), y una vez con la moto inclinada desaparece; este momento giroscópico actúa siempre que la moto está tomando una curva (seguimos una trayectoria que no sea rectilínea), durante toda la trazada.

2.- Efecto giroscópico del movimiento de inclinación:

2.1.- Efecto giroscópico en la rueda delantera debido al esfuerzo en los semimanillares:

Este momento giroscópico aparece cuando giramos los semimanillares (contramanillar) para tomar una curva, provocando que la moto se incline.

( angolo di rollio=ángulo de inclinación; velocità angolare di rotazione della ruota=velocidad de giro de la rueda;; rollio verso destra= inclinación a la derecha; velocità angolare di rollio= velocidad angular de inclinación)

Habíamos explicado el efecto giroscópico como la aparición de un momento que tiende a voltear la rueda cuando se dan momentos de giro en los otros dos ejes. Este momento giroscópico será de dirección perpendicular a los otros dos momentos (ya que su vector director se forma con el producto vectorial de los otros dos momentos).

En este caso los dos momentos inductores son, el propio giro de la rueda, y el giro según el eje de la dirección que le damos mediante los semimanillares para tumbar la moto. El resultado ya lo sabemos, es un momento de vuelco de la moto que es el que nos ayuda a tumbar la moto para trazar la curva. Su dirección será perpendicular a los otros dos momentos.

A la vista de esta expresión, es evidente que cuanto mayor sea el ángulo de lanzamiento, menor será la sensibilidad de la moto a este efecto. Así, un ángulo ε excesivo (como el que se puede ver en muchas motos custom, obligadas por un canon estético absurdo desde el punto de vista tecnológico), provocará que el comportamiento de la moto en curva sea infame, por la anulación de este efecto al reducirse término cosε según aumenta éste. Sin embargo, ángulos excesivamente pequeños (<23º),> moto tenga un comportamiento nervioso y con una dirección poco aplomada.

Por supuesto, este efecto puede actuar a la inversa; es decir, si la moto se inclina (por ejemplo, por el viento), aparecerá en la dirección, y de ahí a los semimanillares, un momento de giro contra el que deberemos aplicar una fuerza con nuestros brazos para conservar la verticalidad.

La otra componente del momento giroscópico inducido, poco importante con geometrías de dirección ordinarias, tendería a girar la rueda según el eje vertical. Este momento tendría por módulo: M = I * Ω * ω * sen ε

2.2.- Efecto giroscópico global en el eje vertical de la motocicleta:

Ahora tomaremos el momento que en la explicación anterior fue efecto de girar el manillar, como causa de otro momento giroscópico. Efectivamente, la combinación de los momentos de giro de ambas ruedas (obsérvese en la expresión los dos momentos de inercia correspondientes), con el momento de vuelco de la moto al inclinarla (para tomar una curva), provoca un momento de giro en torno a un eje vertical a la moto, que tiende a desalinear las ruedas.

Este momento giroscópico (inducido), tiende a provocar un derrapaje de la rueda trasera. Sin embargo, al no ser la motocicleta un sistema rígido, queda absorbido por el giro de la dirección. Es destacable el hecho de que la acción sobre el manillar de un esfuerzo, provoca un momento de vuelco (tumbar la moto), que a su vez origina otro momento en la dirección de sentido contrario que nos facilita la maniobra.

movimiento angular

Movimiento rotatorio

Mapa Conceptual

Definiciones Claves

• Equilibrio de rotación: Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si la suma algebráica de los torques de las fuerzas aplicadas al cuerpo, respecto a un punto cualquiera, es cero.

• El torque: es el momento de rotacion de un cuerpo; el producto de la magnitud de la fuerza perpendicular (F^) a la línea que une el eje de rotación con el punto de aplicación de la fuerza, por la distancia (d) entre el eje de rotación y el punto de aplicación de dicha fuerza.

• Centro de gravedad: (CG) es el punto donde se considera aplicado el peso.

• Centro de masa (CM): es el punto en el cual al aplicar fuerzas se produce una traslación pura.

• Momento de torcion: tendencia a producir un cmabion en el movimiento rotacional.

• Equilibrio: La suma algebraica de todos los momentos de torsión 
en relación con cualquier eje debe ser cero.

Ideas Claves

• Para que exista un movimiento de rotacion es necesario que esten presentes las siguientes condiciones:

 1. La existencia de un eje a lo largo del cual se va a desarrollar el movimiento rotatorio.
2. la existencia de una fuerza externa aplicada sobre el eje, que es la causante del movimiento.
3. La fuerza aplicada debe estar concentrada y localizada sobre algun punto del eje y, dependediendo de la distancia perpendicular generada entre la linea de accion de la fuerza y el eje de rotacion (conocido como brazo de palanca), va a condicionar el torque a que se de en mayor o menor magnitud, siendo mayor entre mas grande sea el brazo de palanca. 

• El efecto de una fuerza dada sobre el movimiento de rotación de un cuerpo, depende del valor de la fuerza, de la distancia del punto de aplicación de la fuerza al eje de giro y de la dirección de la fuerza con respecto a la línea que une el punto de aplicación de ésta con el eje de giro.

•Un cuerpo está en equilibrio rotacional cuando esta en alguna de las sigueintes situaciones:

 1. Cuando esta en estado de reposo rotacional ( velocidad angular cero)
2. Cuando se trata de un movimiento circular uniforme ( velocidad angular constante).

Ejemplos

Los siguientes diagramas son ejemplos en los cuales ocurre un torque o un movimiento de rotacion. En ellos se especifica el brazo de palanca, las fuerzas aplicadas y el momento generado.

problemas

PROBLEMAS CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSO

PROBLEMAS DE ACELERACION Y DESPLAZAMIENTO

PROBLEMAS DE ACELERACION Y DESPLAZAMIENTO

PROBLEMAS DE ACELERACION Y DESPLAZAMIENTO

PROBLEMAS DE ACELERACION Y DESPLAZAMIENTO

La termodinámica (del griego θερμo-, termo, que significa "calor"^[1] y δύναμις, dinámico, que significa "fuerza")^[2] es una rama de la física que estudia los efectos de los cambios de la temperatura, presión y volumen de los sistemas a un nivel macroscópico. También podemos decir que la termodinámica nace para explicar los procesos de intercambio de masa y energía térmica entre sistemas térmicos diferentes. Para tener un mayor manejo especificaremos que calor significa "energía en tránsito" y dinámica se refiere al "movimiento", por lo que, en esencia, la termodinámica estudia la circulación de la energía y cómo la energía infunde movimiento. Históricamente, la termodinámica se desarrolló a partir de la necesidad de aumentar la eficiencia de las primeras máquinas de vapor.

El punto de partida para la mayor parte de las consideraciones termodinámicas son las leyes de la termodinámica, que postulan que la energía puede ser intercambiada entre sistemas en forma de calor o trabajo. También se postula la existencia de una magnitud llamada entropía, que puede ser definida para cualquier sistema. En la termodinámica se estudian y clasifican las interacciones entre diversos sistemas, lo que lleva a definir conceptos como sistema termodinámico y su contorno. Un sistema termodinámico se caracteriza por sus propiedades, relacionadas entre sí mediante las ecuaciones de estado. Éstas se pueden combinar para expresar la energía interna y los potenciales termodinámicos, útiles para determinar las condiciones de equilibrio entre sistemas y los procesos espontáneos.

Con estas herramientas, la termodinámica describe cómo los sistemas responden a los cambios en su entorno. Esto se puede aplicar a una amplia variedad de temas de ciencia e ingeniería, tales como motores, transiciones de fase, reacciones químicas, fenómenos de transporte, e incluso agujeros negros. Los resultados de la termodinámica son esenciales para la química, la física, la ingeniería química, etc, por nombrar algunos.

trasferencia de calor

CONDUCCIÓN

En los sólidos, la única forma de transferencia de calor es la conducción. Si se calienta un extremo de una varilla metálica, de forma que aumente su temperatura, el calor se transmite hasta el extremo más frío por conducción. No se comprende en su totalidad el mecanismo exacto de la conducción de calor en los sólidos, pero se cree que se debe, en parte, al movimiento de los electrones libres que transportan energía cuando existe una diferencia de temperatura. Esta teoría explica por qué los buenos conductores eléctricos también tienden a ser buenos conductores del calor. En 1822, el matemático francés Joseph Fourier dio una expresión matemática precisa que hoy se conoce como ley de Fourier de la conducción del calor. Esta ley afirma que la velocidad de conducción de calor a través de un cuerpo por unidad de sección transversal es proporcional al gradiente de temperatura que existe en el cuerpo (con el signo cambiado).

El factor de proporcionalidad se denomina conductividad térmica del material. Los materiales como el oro, la plata o el cobre tienen conductividades térmicas elevadas y conducen bien el calor, mientras que materiales como el vidrio o el amianto tienen conductividades cientos e incluso miles de veces menores; conducen muy mal el calor, y se conocen como aislantes. En ingeniería resulta necesario conocer la velocidad de conducción del calor a través de un sólido en el que existe una diferencia de temperatura conocida. Para averiguarlo se requieren técnicas matemáticas muy complejas, sobre todo si el proceso varía con el tiempo; en este caso, se habla de conducción térmica transitoria. Con la ayuda de ordenadores (computadoras) analógicos y digitales, estos problemas pueden resolverse en la actualidad incluso para cuerpos de geometría complicada.

CONVECCIÓN

Si existe una diferencia de temperatura en el interior de un líquido o un gas, es casi seguro que se producirá un movimiento del fluido. Este movimiento transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso llamado convección. El movimiento del fluido puede ser natural o forzado. Si se calienta un líquido o un gas, su densidad (masa por unidad de volumen) suele disminuir. Si el líquido o gas se encuentra en el campo gravitatorio, el fluido más caliente y menos denso asciende, mientras que el fluido más frío y más denso desciende. Este tipo de movimiento, debido exclusivamente a la no uniformidad de la temperatura del fluido, se denomina convección natural. La convección forzada se logra sometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo que se fuerza su movimiento de acuerdo a las leyes de la mecánica de fluidos.

Supongamos, por ejemplo, que calentamos desde abajo una cacerola llena de agua. El líquido más próximo al fondo se calienta por el calor que se ha transmitido por conducción a través de la cacerola. Al expandirse, su densidad disminuye y como resultado de ello el agua caliente asciende y parte del fluido más frío baja hacia el fondo, con lo que se inicia un movimiento de circulación. El líquido más frío vuelve a calentarse por conducción, mientras que el líquido más caliente situado arriba pierde parte de su calor por radiación y lo cede al aire situado por encima. De forma similar, en una cámara vertical llena de gas, como la cámara de aire situada entre los dos paneles de una ventana con doble vidrio, el aire situado junto al panel exterior —que está más frío— desciende, mientras que al aire cercano al panel interior —más caliente— asciende, lo que produce un movimiento de circulación.

El calentamiento de una habitación mediante un radiador no depende tanto de la radiación como de las corrientes naturales de convección, que hacen que el aire caliente suba hacia el techo y el aire frío del resto de la habitación se dirija hacia el radiador. Debido a que el aire caliente tiende a subir y el aire frío a bajar, los radiadores deben colocarse cerca del suelo (y los aparatos de aire acondicionado cerca del techo) para que la eficiencia sea máxima. De la misma forma, la convección natural es responsable de la ascensión del agua caliente y el vapor en las calderas de convección natural, y del tiro de las chimeneas. La convección también determina el movimiento de las grandes masas de aire sobre la superficie terrestre, la acción de los vientos, la formación de nubes, las corrientes oceánicas y la transferencia de calor desde el interior del Sol hasta su superficie.

RADIACIÓN

La radiación presenta una diferencia fundamental respecto a la conducción y la convección: las sustancias que intercambian calor no tienen que estar en contacto, sino que pueden estar separadas por un vacío. La radiación es un término que se aplica genéricamente a toda clase de fenómenos relacionados con ondas electromagnéticas. Algunos fenómenos de la radiación pueden describirse mediante la teoría de ondas, pero la única explicación general satisfactoria de la radiación electromagnética es la teoría cuántica. En 1905, Albert Einstein sugirió que la radiación presenta a veces un comportamiento cuantizado: en el efecto fotoeléctrico, la radiación se comporta como minúsculos proyectiles llamados fotones y no como ondas. La naturaleza cuántica de la energía radiante se había postulado antes de la aparición del artículo de Einstein, y en 1900 el físico alemán Max Planck empleó la teoría cuántica y el formalismo matemático de la mecánica estadística para derivar una ley fundamental de la radiación. La expresión matemática de esta ley, llamada distribución de Planck, relaciona la intensidad de la energía radiante que emite un cuerpo en una longitud de onda determinada con la temperatura del cuerpo. Para cada temperatura y cada longitud de onda existe un máximo de energía radiante. Sólo un cuerpo ideal (cuerpo negro) emite radiación ajustándose exactamente a la ley de Planck. Los cuerpos reales emiten con una intensidad algo menor.

La contribución de todas las longitudes de onda a la energía radiante emitida se denomina poder emisor del cuerpo, y corresponde a la cantidad de energía emitida por unidad de superficie del cuerpo y por unidad de tiempo. Como puede demostrarse a partir de la ley de Planck, el poder emisor de una superficie es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. El factor de proporcionalidad se denomina constante de Stefan-Boltzmann en honor a dos físicos austriacos, Joseph Stefan y Ludwig Boltzmann que, en 1879 y 1884 respectivamente, descubrieron esta proporcionalidad entre el poder emisor y la temperatura. Según la ley de Planck, todas las sustancias emiten energía radiante sólo por tener una temperatura superior al cero absoluto. Cuanto mayor es la temperatura, mayor es la cantidad de energía emitida. Además de emitir radiación, todas las sustancias son capaces de absorberla. Por eso, aunque un cubito de hielo emite energía radiante de forma continua, se funde si se ilumina con una lámpara incandescente porque absorbe una cantidad de calor mayor de la que emite.

PROBLMA ENERGIA MECANICA

problemas

problemas

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

FUERZA DE FRICCIÓN O ROZAMIENTO

Se define a la fricción como una fuerza resistente que actúa sobre un cuerpo, que impide o retarda el deslizamiento de este respecto a otro o en la superficie que este en contacto. Esta fuerza es siempre tangencial a la superficie en los puntos de contacto con el cuerpo, y tiene un sentido tal que se opone al movimiento posible o existente del cuerpo respecto a esos puntos. Por otra parte estas fuerzas de fricción están limitadas en magnitud y no impedirán el movimiento si se aplican fuerzas lo suficientemente grandes.

Esta fuerza es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

La experiencia nos muestra que:

• la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cual sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.
• la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la
normal entre los dos cuerpos, es decir:

F_r = m·N

Donde m es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática., podemos así establecer que hay dos coeficientes de rozamiento: el estático, m_e, y el cinético, m_c, siendo el primero mayor que el segundo:

_e > _c

Fuerza de fricción estática.

Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. En la siguiente figura aplicamos una fuerza F que aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la fuerza de fricción estática F_e , ejercida por la superficie.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La máxima fuerza de fricción estática F_{e max} , corresponde al instante en que el bloque está a punto de deslizar. Los experimentos demuestran que:

F_{e máx} = m _eN

Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de fricción estática varía, hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra:

F_{e máx} <= m _eN

Fuerza de fricción cinética

En la siguiente figura mostramos un bloque de masa m que se desliza por una superficie horizontal con velocidad constante. Sobre el bloque actuán tres fuerzas: el peso mg , la fuerza normal N, y la fuerza de fricción F_k entre el bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de fricción F_k.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Podemos ver que si duplicamos la masa m, se duplica la fuerza normal N, la fuerza F con que tiramos del bloque se duplica y por tanto F_k se duplica. Por tanto la fuerza de fricción cinética F_k es proporcional a la fuerza normal N.

F_k = m _k N

La constante de proporcionalidad m _k es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de fricción cinético.

MATERIAL	S	K
Madera sobre madera	0.7	0.4
Acero sobre acero	0.15	0.09
Metal sobre cuero	0.6	0.5
Madera sobre cuero	0.5	0.4
Caucho sobre concreto, seco	0.9	0.7
húmedo	0.7	0.57

MOVIMIENTO CON ROZAMIENTO

Vamos a considerar un cuerpo de masa m que está sobre un plano inclinado tal como se muestra en el dibujo. Supondremos que existe rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado y vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve el cuerpo. Sobre el cuerpo no aplicamos ninguna fuerza por lo que, en principio, el cuerpo caerá hacia abajo por el plano inclinado.

Lo primero que tenemos que hacer es dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y que son:

• Fuerza
peso, dirigida hacia el suelo, tal como se muestra en la figura. La fuerza peso siempre está dirigida hacia el suelo.
• Fuerza
Normal, en dirección perpendicular al plano inclinado, que es la superficie de apoyo del cuerpo, tal como se puede ver en el dibujo.
• Fuerza de rozamiento, paralela al plano inclinado (la superficie de contacto) y dirigida hacia arriba del plano ya que estamos suponiendo que el cuerpo se mueve hacia abajo.

Una vez que tenemos todas las fuerzas que actuad sobre el cuerpo, el siguiente paso consiste en dibujar el Diagrama de cuerpo libre, aunque en este caso, al haber sólo un cuerpo, podemos usar como diagrama el dibujo anterior en el que hemos dibujado todas las fuerzas.

Pasamos ahora a elegir el sistema de referencia. Para facilitar el cálculo conviene elegir unos ejes de coordenadas de manera que uno de ellos tenga la dirección del movimiento. En este caso vamos a tomar el eje x paralelo al plano inclinado y el eje y perpendicular al plano inc linado tal como se muestra en el dibujo. Como sentido positivo del eje x tomaremos el sentido hacia abajo del plano inclinado (normalmente se toma el sentido del movimiento del cuerpo) y para el eje y hacia arriba de la superficie del plano inclinado.

Una vez elegido los ejes de coordenadas que vamos a utilizar, vamos a escribir la Segunda ley de Newton para cada uno de los ejes. En este caso, tal como podemos ver en los dibujos, la fuerza peso tiene componentes, tanto en el eje x como en el eje y. En el dibujo vemos como determinar las componentes del peso. El ángulo que forma el peso con el eje y es el ángulo del plano inclinado. De esta manera, la componente y del peso se obtiene multiplicando el módulo del vector por el coseno del ángulo y la componente x se obtiene multiplicando por el seno del ángulo.

Veamos ahora la Segunda ley de Newton para cada uno delos ejes. Comenzaremos por el eje y. Las fuerzas que actuan en esta dirección son la Normal y la componente y del peso. La primera tiene sentido positivo y la segunda sentido negativo de acuerdo con el criterio de signos que estamos usando. Tenemos entonces:

N -m·g·cosa = m·a_y = 0

Igual que en el ejemplo anterior, la aceleración en la dirección y es cero puesto que el cuerpo no se va a separar del plano inclinado. Podemos despejar el valor de la Normal, obteniendo que es igual a la componente y del peso:

N = m·g·cos a

En el eje x las fuerzas que actuan son la componente x del peso y la fuerza de rozamiento. La primera tiene sentido positivo y la segunda tendrá sentido negativo. De esta manera, aplicando la Segunda ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:

m·g·sena - F_r = m·a

donde hemos llamado a a la aceleración en el eje x ya que hemos visto que no hay aceleración en la dirección y. Como vimos al hablar de la fuerza de rozamiento, está es igual al producto del coeficiente de rozamiento, m, por la normal. Escribiendo esto en la ecuación anterior obtenemos:

m·g·sena - m·N = m·a

Como ya hemos obtenido anteriormente que la normal es igual a la componente y del peso, sustituyendo en la ecuación nos queda:

m·g·sena - m·m·g·cosa = m·a

De aquí podemos despejar la aceleración con la que se moverá el cuerpo y que es:

a = g·(sena - n cosa)

Con lo que hemos obtenido la aceleración con la que se mueve el cuerpo tal como pretendiamos al principio.

Vemos que, como era de esperar, la aceleración con la que cae el cuerpo depende del coeficiente de rozamiento. Hay un valor de dicho coeficiente de rozamiento para el cual el cuerpo no caerá y se quedará quieto en el plano inclinado. Dejamos para el lector el cálculo de ese valor. ¿Qué pasa si el coeficiente de rozamiento es mayor que el valor calculado antes? ¿Se moverá el cuerpo hacia arriba? De nuevo, dejamos que sea el lector quién obtenga la respuesta. (Ayuda: Repasar el apartado Fuerza de rozamiento)

Choques frontales

Choques frontales

Descripción desde el Sistema de Referencia del Laboratorio

Supongamos que la segunda partícula u₂=0, está en reposo antes del choque. La conservación del momento lineal

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

De la definición del coeficiente de restitución e

-e(u₁-u₂)=v₁-v₂

Despejando las velocidades después del choque v₁ y v₂

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v₁ y v₂ de forma más simplificada y fácil de recordar.

v₁=(1+e)V_cm-eu₁
v₂=(1+e)V_cm-eu₂

Si la segunda partícula está en reposo antes del choque, u₂=0. Las velocidades después del choque v₁ y v₂ serán.

Descripción desde el Sistema de Referencia del Centro de Masa

• Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C antes del choque

• Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C después del choque

v_1cm=-e·u_1cm
v_2cm=-e·u_2cm

La velocidad de ambos objetos después del choque en el Sistema-C se reducen en un factor e.

Comprobamos también que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

m₁·u_1cm+m₂·u_2cm=0
m₁·v_1cm+m₂·v_2cm=0

Energía perdida en el choque

La energía perdida en la colisión Q la podemos hallar como la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque en el Sistema-L.

Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

Ejemplo:

• Primera partícula: m₁=1, u₁=2

• Segunda partícula: m₂=2, u₂=0

• Coeficiente de restitución: e=0.9

1. Principio de conservación del momento lineal

1·2+2·0=1·v₁+2·v₂

2. Definición de coeficiente de restitución

-0.9(2-0)=v₁-v₂

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos

v₁=-0.53, v₂=1.27 m/s

Energía perdida en la colisión (Sistema-L)

Calculada mediante la fórmula (Sistema-C)

Choques elásticos

Podemos obtener de forma alternativa, las velocidades v₁ y v₂ después del choque para un choque elástico empleando la conservación del momento lineal y de la energía cinética.

1. Principio de conservación del momento lineal

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

2. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.

Dados u₁ y u₂, las velocidades de las partículas m₁ y m₂ antes del choque, podemos calcular las velocidades de las partículas v₁ y v₂ después del choque resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v₁ y v₂

Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con el coeficiente de restitución e=1.

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v₁ y v₂ de forma más simplificada y fácil de recordar.

v₁=2V_cm-u₁
v₂=2V_cm-u₂

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de restitución e, un valor comprendido entre 0 y 1en el control de edición titulado Coef. restitución. El valor de 1 corresponde a un choque elástico
• El cociente entre las masas m₂/m₁, en el control de edición titulado Cociente entre masas. Donde m₂ es la masa de la partícula que está inicialmente en reposo, y m₁ la masa de la partícula inicialmente en movimiento.
• La velocidad de la primera partícula u₁, en el control de edición titulado Velocidad partícula 1

Se pulsa el botón titulado Empieza.

En la mitad superior del applet, se representa el choque frontal en el Sistema-L del laboratorio. Una cruz de color azul representa la posición del centro de masas del sistema formado por las dos partículas interactuantes. Se representa también mediante un diagrama de tarta la energía inicial y final de las partículas. Cuando el choque es elástico la energía inicial es igual a la final. Cuando el choque es inelástico (coeficiente de restitución menor que la unidad) la energía final es menor que la inicial.

En la parte inferior, se representa el mismo choque en el Sistema-C del centro de masas

Se proporcionan los datos correspondientes a la velocidad de las partículas antes del choque y después del choque tanto en el Sistema–L como en el Sistema-C. Se representan también los momentos lineales en forma de vectores antes del choque y después del choque. De este modo el lector puede comprobar de forma visual la conservación del momento lineal.

Se recomienda al lector, que resuelva el mismo problemas de choques frontales y compruebe su solución con el programa interactivo. Por ejemplo, cuando las masas son iguales, la relación entre masas m₂/m₁ es igual a la unidad, y el choque es elástico (e=1).

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.